《BAP - Goodbye》的歌詞如下：
(Verse 1)
我們就這樣 靜靜看著對方
現在要說再見了
現在的我已經不能回頭了
不管你如何呼喚我
我的心也不會有任何動搖
(Chorus)
所以我要說聲再見了
我要把愛你的話留在心底
不管距離多遠我都會一直記住的
現在要說聲再見了
我要看著你的眼淚掉落
但其實我會一直記得你的微笑
就像這次你從我眼前消失
你和我永不再見面了
(Verse 2)
所以我要說聲再見了
不管何時我都不會忘記你
雖然我心中有痛苦和不安
但我會努力讓自己變得更強
(Outro)
所以再見了 我愛你
我會一直記住你的已知函式f(x) = x^3 + 3ax - 2a^2，且在x = 2處有極值. 求常數a的值.並求這個極值.
設曲線C：y = x^3 + 3ax - 2a^2, 在點$(t,y(t))$處的切線方程為l,其中$t \neq 2$，求切線方程.
設$g(x) = f(x) - x^3$，求函式$g(x)$的單調區間.
【分析】
求出函式的導數，得到$f^{\prime}(x) = 0$時$x = 2$，從而求出$a = \frac{1}{2}$，進一步求出函式的極值；利用點斜式方程寫出切線方程；令$h(x) = g^{\prime}(x)$，判斷函式的單調性即可.
【解答】
(1)因為$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 3a$，由題意知$f^{\prime}(2) = 0$，所以$12 + 3a = 0$，解得$a = - 4$. 所以函式$f(x)$在$( - \infty, - 4)$上單調遞增，在$( - 4,2)$上單調遞減，在$(2, + \infty)$上單調遞增. 當$x = - 4$時，函式取得極大值$- 16 - 12\sqrt{3}$；當$x = 2$時，函式取得極小值$- \frac{8}{3}$. 所以當$a = - \frac{4}{3}$時，函式在$( - \infty, + \infty)$上無極值. 所以當$a = - \frac{4}{3}$時，函式取得極小值$- \frac{8}{3}$，沒有極大值. (2)設切點為$(t,y_{t})$，則切線方程為$y - (t^{3} + 3at - 2a^{2}) =$$(3t^{2} + 3a)(x - t)$. 當$t \neq 2$時，斜率為$\frac{3t^{2} + 3a}{t - 2}$，切線方程為$y - (t^{3} + 3at -$$2a^{2}) = \frac{3t^{2} + 3a}{t - 2}(x - t)$. (3)由題意知$g^{\prime}(x) = 3x^{2} + a - 3x^{3}$，令$h(x) = g^{\prime}(x)$，則$h^{\prime}(x) = (3x^{2} + a)(x - 1)$. 若$- \frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$時，對任意的實數都有 $h(x) > h(0) > 0$. 若$\frac{1}{2} \leqslant a < \frac{5}{6}$時，當$x < \frac{1}{3}$或$x > \frac{5}{6}$時，有 $h(x) > h(0) > 0$. 當$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{6}$時，有 $h(\frac{5}{6}) < h(x) < h(\frac{1}{3})$且 $h^{\prime}(x) < 0$. 所以函式$g(x)$的單調增區間為$( - \infty,\frac{5}{6})$和 $(\frac{1}{3}, + \infty)$；單調減區間為 $(\frac{5}{6},\frac{1}{3})$. 若$a